L’utilizzo di tecniche di analisi F.E.M. (Finite Element Method) o D.E.M. (Distinct Element Method) , essendo tecniche sofisticate che richiedono una parametrizzazione di dettaglio del sottosuolo, viene considerato negli studi di stabilità in cui sono coinvolte volumi e aree notevole e vi sono rischi concreti per la popolazione e le infrastrutture.

L’utilizzo ti tali tecniche consente anche di sviluppare quadri previsionali ad elevata affidabilità

FEM

Metodo F.E.M.

Il Metodo F.E.M. si applica a corpi fisici suscettibili di essere suddivisi in un certo numero, anche molto grande, di elementi di forma definita e dimensioni contenute. Nel continuum, ogni singolo elemento finito viene considerato un campo di integrazione numerica di caratteristiche omogenee. La caratteristica principale del metodo degli elementi finiti è la discretizzazione attraverso la creazione di una griglia (mesh) composta da primitive (elementi finiti) di forma codificata (triangoli e quadrilateri per domini 2D, esaedri e tetraedri per domini 3D). Su ciascun elemento caratterizzato da questa forma elementare, la soluzione del problema è assunta essere espressa dalla combinazione lineare di funzioni dette funzioni di base o funzioni di forma (shape functions). Da notare che talora la funzione viene approssimata, e non necessariamente saranno i valori esatti della funzione quelli calcolati nei punti, ma i valori che forniranno il minor errore su tutta la soluzione. L’esempio tipico è quello che fa riferimento a funzioni polinomiali, sicché la soluzione complessiva del problema viene approssimata con una funzione polinomiale a pezzi. Il numero di coefficienti che identifica la soluzione su ogni elemento è dunque legato al grado del polinomio scelto. Questo, a sua volta, governa l’accuratezza della soluzione numerica trovata.

Nella sua forma originaria e tutt’ora più diffusa, il metodo agli elementi finiti viene utilizzato per risolvere problemi poggianti su leggi costitutive di tipo lineare. Tipici i problemi di sforzi – deformazioni in campo elastico, la diffusione del calore all’interno di un corpo materiale. Alcune soluzioni più raffinate consentono di esplorare il comportamento dei materiali anche in campo fortemente non lineare, ipotizzando comportamenti di tipo plastico o visco-plastico.

Inoltre, si considerano talora problematiche accoppiate, all’interno delle quali si possono risolvere simultaneamente diversi aspetti complementari riconducibili ciascuno per conto proprio ad un’analisi F.E.M. separata. Tipico in questo senso il problema geotecnico del comportamento di un dato terreno (ambito geomeccanico) in presenza di moti di filtrazione di falda (ambito idrogeologico).

Per arrivare al modello agli elementi finali si seguono delle fasi fondamentali, ognuna delle quali comporta l’inserimento di errori nella soluzione finale:

  1. Modellazione: questa fase è presente in tutti gli studi di ingegneria: si passa dal sistema fisico ad un modello matematico, che astrae alcuni aspetti di interesse del sistema fisico, focalizzando l’attenzione su poche variabili aggregate di interesse e “filtrando” le rimanenti. Ad esempio nel calcolo del momento flettente di una trave non si prendono in considerazione le interazioni a livello molecolare. Il sistema fisico se complesso viene suddiviso in sottosistemi. Nel caso in esame non è necessario, oppure possiamo pensare che si tratti di una parte appartenente ad un sistema più complesso, ad esempio di una nave o di un aeroplano. Il sottosistema verrà poi suddiviso in elementi finiti ai quali verrà applicato un modello matematico. A differenza delle trattazioni analitiche è sufficiente che il modello matematico scelto sia adeguato alle geometrie semplici degli elementi finiti. La scelta di un tipo di elemento in un programma software equivale ad una scelta implicita del modello matematico che vi è alla base. L’errore che può portare l’utilizzo di un modello deve essere valutato con prove sperimentali, operazione in genere dispendiosa per tempo e risorse.
  2. Discretizzazione: in una simulazione per via numerica è necessario passare da un numero infinito di gradi di libertà (condizione propria del “continuum”) ad un numero finito (situazione propria della mesh). La discretizzazione, nello spazio o nel tempo, ha lo scopo di ottenere un modello discreto caratterizzato da un numero finito di gradi di libertà. Viene inserito un errore dato dalla discordanza con la soluzione esatta del modello matematico. Questo errore può essere valutato opportunamente se esiste un modello matematico adeguato all’intera struttura (quindi preferibile da utilizzare rispetto all’analisi FEM) ed in assenza di errori numerici di calcolo, ciò può essere considerato vero utilizzando calcolatori elettronici.

Ogni elemento è caratterizzato da:

  • Dimensione: 1D, 2D, 3D.
  • Nodi: Punti precisi dell’elemento che ne individuano la geometria. Su ogni nodo dell’elemento viene associato il valore di un campo o gradiente che interessa l’intera struttura. Nel caso di elementi meccanici il campo è quello delle reazioni vincolari (displacements).
  • Gradi di libertà: i possibili valori che possono assumere i campi o gradienti nei nodi, due nodi adiacenti hanno gli stessi valori.
  • Forze sui nodi: forze esterne applicate sui nodi o l’effetto delle reazioni vincolari. Esiste una relazione di dualità tra forze e reazioni vincolari.

Detto f il vettore di forze esterne su un nodo ed u il vettore di DOF si assume linearità tra f e u:

 

dove K prende il nome di matrice di rigidezza (stiffnes matrix). Questa relazione individua la dualità tra forze esterne e spostamenti. Il prodotto scalare f u è associato al valore del lavoro compiuto dalle forze esterne. I termini forza, reazione vincolare e stiffness matrix sono estesi oltre l’ambito delle strutture meccaniche in cui è nata l’analisi FEM.

  • Proprietà costitutive: le proprietà dell’elemento e del suo comportamento. In seguito verrà definito un materiale isotropo con comportamento lineare elastico, definito un modulo di Young ed un coefficiente di Poisson.
  • Soluzione di un sistema di equazioni, anche non lineari risolte per via numerica dall’elaboratore. Viene introdotto un errore numerico trascurabile nel caso di sistemi lineari come quello in analisi.

La definizione della geometria del modello che idealizza la struttura reale viene effettuata piazzando dei nodi, o punti nodali, sulla struttura in corrispondenza di punti caratteristici.
Nel posizionare i nodi sulla struttura bisogna tenere presente alcune considerazioni:

  • il numero dei nodi deve essere sufficiente a descrivere la geometria della struttura.
  • i nodi devono essere posizionati anche nei punti e sulle linee di di continuità. Ad esempio dove cambiano le caratteristiche dei materiali, le caratteristiche delle sezioni, ecc.
  • si possono posizionare dei nodi in punti non necessari per la definizione geometrica della struttura ma di cui si vogliono conoscere gli spostamenti e le sollecitazioni interne
  • se il software non lo prevede si devono posizionare dei nodi in corrispondenza di punti in cui sono applicati carichi concentrati o masse nodali
  • si devono mettere nodi in tutti i punti che si intendono vincolare
  • nel caso di strutture bidimensionali la suddivisione (mesh) in elementi finiti bidimensionali deve essere sufficientemente fitta per cogliere le variazioni di sforzo o di spostamento nelle regioni importanti ai fini dell’analisi.

METODI D.E.M.

Con questo metodo il terreno viene modellato come una serie di elementi discreti, che in seguito chiameremo “blocchi”, e tiene conto della mutua compatibilità tra i blocchi stessi. A questo scopo ogni blocco e i blocchi adiacenti e la base sono vincolate da molle alla Winkler.

Vi sono una serie di molle nella direzione normale all’interfaccia per simulare la rigidezza normale e una serie di molle nella direzione tangenziale per simulare la resistenza allo scorrimento dell’interfaccia. Il comportamento delle molle normali e di quelle trasversali, è assunto di tipo elasto-plastico perfetto. Le molle normali non cedono in compressione ma cedono solo a trazione con una capacità estensionale massima per terreno dotato di coesione e senza capacità estensionale per terreni non coesivi.

 Le molle trasversali cedono quando è raggiunta la massima resistenza a taglio ed occorre distinguere due tipi di comportamenti diversi: terreno fragile e terreno non fragile.

 Per semplicità si è assunto che dopo il raggiungimento della resistenza di picco, la resistenza del terreno si abbatte immediatamente al valore della resistenza residua.
Per terreno non fragile la resistenza non si riduce per grandi deformazioni a taglio, quindi la resistenza residua è uguale a quella di picco.La formulazione del metodo esposto segue quello di una precedente ricerca svolta da Chang e Mistra sulla meccanica dei particolari discreti.